사영 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동차 좌표
3. 성질
- 3.1. 세그레 사상
4. 역사
5. 위상
6. 대수기하학
7. 모듈라이 공간
- 7.1. 그라스만 다양체
8. 사영 변환군
9. 초평면과 쌍대 사영 공간
10. 제차 좌표환과 스킴론적 정의
11. 푸비니-스터디 계량
12. 사영 공간의 위상
참조

1. 개요

사영 공간은 체 K 위의 벡터 공간 V에서 영벡터를 제외한 벡터들을 동치류로 묶어 얻는 공간이다. 사영 공간의 원소는 점으로 불리며, 동차 좌표를 사용하여 표현된다. 사영 공간은 원근법 연구에서 시작되었으며, 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 사영 공간은 그라스만 다양체, 세베리-브라우어 다양체, 가중 사영 공간 등으로 일반화될 수 있으며, 사영 변환군을 갖는다. 또한, 푸비니-스터디 계량을 통해 켈러 다양체를 이루며, 위상 공간으로서 CW 복합체 구조를 가진다. 스킴 이론에서는 다항식환의 사영 스펙트럼으로 정의된다.

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사영 공간
개요
종류	수학적 개념
분야	기하학
정의	일반적인 공간을 "무한대에서의 점"으로 완성
성질	사영 기하학의 기본 공간 대수기하학에서 중요한 역할
정의
n차원 사영 공간	V {0} / ~
V	(n + 1)차원 벡터 공간
~	비례 관계 (x ~ y iff x = λy for some nonzero λ)
관련 개념
사영 기하학	사영 공간의 기하학적 연구
대수기하학	사영 공간을 배경으로 하는 대수적 다양체 연구
쌍대 공간	사영 공간의 쌍대 개념

2. 정의

사영 공간은 벡터 공간에서 원점을 지나는 직선들의 집합으로 정의된다.

음이 아닌 정수 $n$ 에 대해, 정수 계수의 $n$ 차원 사영 공간 $\mathbb P^n_{\mathbb Z}$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbb P^n_{\mathbb Z}=\operatorname{Proj}\mathbb Z[x_0,x_1,\dots,x_n]$

여기서 $\mathbb Z[x_0,x_1,\dots,x_n]$ 은 (등급환인) 정수 계수 다항식환이며, $\operatorname{Proj}$ 는 사영 스펙트럼이다.

임의의 스킴 $X$ 에 대하여, $X$ 좌표의 $n$ 차원 사영 공간 $\mathbb P_X^n$ 은 다음과 같다.

: $\mathbb P^n_X=\mathbb P^n_{\mathbb Z}\times X$

여기서 $\times$ 는 스킴의 범주의 곱을 뜻한다.

가환환 $R$ 에 대해, 다음이 성립한다.

: $\mathbb P^n_{\operatorname{Spec}R} = \operatorname{Proj}R[x_0,x_1,\dotsc,x_n]$

체 K 위의 벡터 공간 V가 주어졌을 때, 사영 공간 P(V)는 V\{0}에 대한 동치 관계 ~ 아래의 동치류 집합이다. 여기서 동치 관계는 x~y를 만족하는, K의 0이 아닌 원소 λ가 존재함을 의미한다.

사영 좌표를 사용하여 사영 공간을 정의할 수 있다.

2. 1. 동차 좌표

대수적으로 닫힌 체

K

에 대해,

\mathbb P^n_K

의 닫힌 점들은 동치 관계를 통해 정의할 수 있다.

K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\}

에 다음과 같은 동치 관계를 부여한다.

:

(a_0,a_1,\dots,a_n)\sim(\lambda a_0,\lambda a_1,\dots,\lambda a_n)\qquad\forall\lambda\in K^\times

여기서

K^\times

는

K

의 0이 아닌 원소들의 곱셈군을 의미한다.

이때,

\mathbb P^n_K

의 닫힌 점들은 이러한 동치류들의 집합

(K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\})/{\sim}

으로 표현된다. 이러한 표현에서

(a_0,\dots,a_n)

을 '''동차좌표'''라고 한다.

가환체 K 위의 벡터 공간 V에 대해, 사영 공간 P(V)는 V\{0}에 대한 동치 관계 ~ 아래의 동치류 집합이다. 여기서 동치 관계 ~는 x ~ y 를 만족하는, K의 0이 아닌 원소 λ가 존재함을 의미한다.

V가 위상 벡터 공간이면, 몫 공간 P(V)에는 V\{0}의 부분 공간 위상에 대한 몫 위상이 부여되어 위상 공간이 된다. 이는 K가 실수체 또는 복소수체 C일 때 특히 중요하다.

일반적으로 V = K^{n+1}인 경우, 사영 공간 P(V)는 P_n(K)로 표기된다. (K^nP^n 또는 P^n(K)로도 표기되지만, 지수 표기와의 혼동을 피해야 한다.)

사영 공간 P(V)의 원소는 보통 '''점'''이라고 한다. V = K^{n+1}인 경우, 점 P의 사영 좌표는 해당 동치류의 임의의 원소의 기저에 대한 좌표로 주어진다. 이러한 좌표는 [x_0 : ... : x_n]로 표기되며, 콜론과 대괄호는 일반 좌표와 구별하고 영이 아닌 상수로의 곱셈까지 정의되는 동치류임을 나타낸다.

즉, [x_0 : ... : x_n]가 점의 사영 좌표라면, [λx_0 : ... : λx_n] 또한 K에서 영이 아닌 임의의 λ에 대해 동일한 점의 사영 좌표가 된다. 또한, 좌표 중 적어도 하나는 0이 아니어야 한다.

만약 K가 실수체 또는 복소수체라면, 해당 사영 공간은 각각 실 사영 공간 또는 복소 사영 공간이라고 불린다. n이 1 또는 2일 경우, 차원 n의 사영 공간은 각각 사영선 또는 사영 평면이라고 불린다. 복소 사영선은 리만 구라고도 한다.

가환체 K에 대해, K 상의 n 차원 사영 공간 KP_n는 (n + 1)개 K 원소의 비 [x_0 : x_1 : ⋯ : x_n]의 집합으로 정의된다. 벡터 공간 K^{n+1}에서 0이 아닌 벡터에 대한 동치 관계는 다음과 같다.

(a_0, a_1, ..., a_n) ~ (b_0, b_1, ..., b_n)

이는 0이 아닌 K의 원소 t가 존재하여 모든 i = 0, 1, ..., n에 대해 b_i = ta_i를 만족하는 경우를 의미한다. 따라서,

KP_n= ( K^{n+1} \setminus \{ 0 \} ) / {\sim}

K가 위상환인 경우 (예: 실수체 R 또는 복소수체 C), KP_n는 곱 위상에서 유도된 K^{n+1} ∖ {0}의 몫 위상을 통해 자연스럽게 위상 공간이 된다. 벡터 공간 K^{n+1}의 좌표를 설정하면, 사영 공간의 점은 비로 표현될 수 있으며, 이를 '''동차 좌표''' (homogeneous coordinate|호모지니어스 코디네이트^영어)라고 한다.

3. 성질

사영 공간은 유클리드 공간에서 평행선들이 만나는 점(무한원점)을 추가하여 기하학적 직관을 확장한 것이다. 예를 들어 "두 개의 공면선은 정확히 하나의 점에서 교차하며, 이 점은 선이 평행일 경우 무한대에 있다"와 같은 명제를 형식화할 수 있다.

수학적으로, 사영 공간은 차원 $n+1$ 의 벡터 공간에서 벡터 선(차원 1의 벡터 부분 공간)의 집합, 또는 "한 벡터가 다른 벡터에 0이 아닌 스칼라를 곱한 것"으로 정의된 벡터 간의 동치 관계에 따른 동치류의 집합으로 정의할 수 있다.

체 K 위의 벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, ''사영 공간'' $\mathbf{P}(V)$ 는 $V$ 에서 영벡터를 제외한 공간의 동치 관계에 대한 동치류의 집합이다. 여기서 $x \sim y$ 는 $x = \lambda y$ 를 만족하는 $K$ 의 영이 아닌 원소 $\lambda$ 가 존재함을 의미한다. $V$ 가 유한 차원일 경우, $\mathbf{P}(V)$ 의 ''차원''은 $V$ 의 차원에서 1을 뺀 값이다. 일반적인 경우 $V = K^{n+1}$ 인 사영 공간 $\mathbf{P}(V)$ 는 $\mathbf{P}_n(K)$ 로 표시되며, $K$ 위의 차원 $n$ 의 사영 공간 또는 ''사영 $n$ -공간''이라고도 불린다.

사영 공간 $\mathbf{P}(V)$ 의 원소는 ''점''이라고 불린다. $V$ 의 기저가 선택된 경우, 점 $P$ 의 사영 좌표는 해당 동치류의 임의의 원소의 기저에 대한 좌표이며, $[x_0 : ... : x_n]$ 으로 표시된다. 이는 영이 아닌 상수로의 곱셈까지 정의되는 동치류임을 강조한다.

$K$ 가 실수 또는 복소수의 체라면, 사영 공간은 각각 실 사영 공간 또는 복소 사영 공간이라고 불린다. $n$ 이 1 또는 2이면, 각각 사영선 또는 사영 평면이라고 불리며, 복소 사영선은 리만 구라고도 불린다.

사영 공간의 '''부분 공간'''은, 그 안의 임의의 두 점을 잇는 선이 그 부분 공간에 완전히 포함되는 부분 집합이다.

합성 기하학에서 사영 공간은 다음과 같은 공리를 만족하는 점과 선의 집합으로 정의된다.^[2]

서로 다른 두 점은 정확히 하나의 선 위에 있다.
베블렌의 공리: 만약 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 서로 다른 점이고 $ab$ 와 $cd$ 를 지나는 선이 만나면, $ac$ 와 $bd$ 를 지나는 선도 만난다.
모든 선은 적어도 3개의 점을 포함한다.

차원이 3 이상인 경우, 베블렌-영 정리에 의해 벡터 공간에서 구성할 수 없는 사영 공간은 존재하지 않는다. 그러나 차원이 2인 경우에는 비데자르그 평면과 같이 벡터 공간에서 구성할 수 없는 예가 존재한다.

사영 공간은 격자 이론의 관점에서 기하 모듈형 격자와 일대일 대응 관계를 갖는다.^[5]

3. 1. 세그레 사상

임의의 스킴

S

에 대하여, 다음과 같은 표준적인 닫힌 몰입이 존재하며, 이를 '''세그레 사상'''(Segre morphism^영어)이라고 한다.

:

\mathbb P^m_S \times_S \mathbb P^n \to \mathbb P_S^{(m+1)(n+1)-1}

S

위의 세그레 사상은 정수환 계수의 절대적 세그레 사상의 올곱이다.

:

\mathbb P^m_{\mathbb Z} \times \mathbb P^n_{\mathbb Z} \to \mathbb P^{(m+1)(n+1)-1}_{\mathbb Z}

구체적으로, 이는 동차 좌표에 대하여 다음과 같이 정의된다.

:

\left([x_0:x_1:\dotsb:x_m],[y_0:y_1:\dotsb:y_n]\right) \mapsto [x_0y_0:x_0y_1:\dotsb:x_0y_n:x_1y_0:x_1y_1:\dotsb:x_my_n]

즉, 사영 사상

:

\pi_1 \colon \mathbb P^m_{\mathbb Z} \times \mathbb P^n_{\mathbb Z} \to \mathbb P^m_{\mathbb Z}

:

\pi_2 \colon \mathbb P^m_{\mathbb Z} \times \mathbb P^n_{\mathbb Z} \to \mathbb P^n_{\mathbb Z}

을 생각하면, 가역층

:

\pi_1^* \mathcal O_{\mathbb P^m_{\mathbb Z}}(1) \otimes \pi_2^* \mathcal O_{\mathbb P^n_{\mathbb Z}}(1)

을 취할 수 있으며, 이 가역층은 위와 같이

(m+1)(n+1)

개의 단면

x_iy_j

(

i\in\{0,\dotsc,m\},j\in\{0,\dotsc,n\}

)을 가지며, 이는 사영 공간

\mathbb P^{(m+1)(n+1)-1}_{\mathbb Z}

로의 사상을 정의한다.

이를 통해, 사영 대수다양체의 곱이 사영 대수다양체임을 보일 수 있다.

4. 역사

코라도 세그레가 사영 공간 사상을 발견하였다.

5. 위상

Real projective space^영어 또는 complex projective space^영어 사영 공간은 콤팩트하고 하우스도르프 공간인 CW 복합체 구조를 갖는다. 실수 사영 공간 $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ 은 $\mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{R})$ 를 붙이는 사상으로 $\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{R})$ 에서 n-셀을 부착하여 얻을 수 있기 때문에, 간단한 CW 복합체 구조를 갖는다.^[1]

체 $K$ 가 실수체 $\mathbb{R}$ 또는 복소수체 $\mathbb{C}$ 일 때, 사영 공간 $K\mathbb{P}_n$ 는 콤팩트한 하우스도르프 공간이다. $K = \mathbb{R}$ 의 경우, 사영 공간의 정의에 의해, 성질이 좋은 자연스러운 사상 $\mathbb{S}^n \to \mathbb{RP}_n$ 이 있으므로, $\mathbb{RP}_n$ 의 콤팩트성 및 하우스도르프성은 n차원 구면 $\mathbb{S}^n$ 에서 비롯된다. $K = \mathbb{C}$ 일 때도 마찬가지로 $\mathbb{S}^1$ 올다발 $\mathbb{S}^{2n+1} \to \mathbb{CP}_n$ (Hopf bundle^영어)이 있는 것으로부터 유도된다.

일반적인 체 $K$ 에 대해서는 사영 공간에는 자리스키 위상을 넣어 생각하지만, 이 위상에 대하여 $K\mathbb{P}_n$ 는 기초체 $K$ 위에서 고유(proper)가 된다. 대수다양체의 고유성은 유클리드 위상에 관한 콤팩트・하우스도르프성의 개념과 대응된다.

6. 대수기하학

대수기하학에서 사영 공간은 대수다양체를 정의하는 기본 공간으로 활용된다. 예를 들어, 베주의 정리에 따르면, 차수가 각각 d와 e인 두 평면 대수 곡선의 교차점은 사영 평면에서 복소점을 고려하고, 점의 중복도를 세면 정확히 de개의 점으로 구성된다.^[1] 또 다른 예는 평면 대수 곡선의 종수를 ''복소 사영 평면''의 특이점으로부터 계산할 수 있는 종수-차수 공식이다.

사영 다양체는 사영 공간의 점 집합으로, 그 동차 좌표는 일련의 동차 다항식의 공통 영점이다.^[1] 모든 아핀 다양체는 정의 다항식을 동차화하고, 동차화 변수에 대해 포화시켜 무한대 초평면에 포함된 성분을 제거함으로써 유일한 방식으로 무한대점을 추가하여 사영 다양체로 ''완성''될 수 있다.

사영 공간과 사영 다양체의 중요한 성질은 대수적 다양체의 사상에 따른 사영 다양체의 상이 자리스키 위상에 대해 닫혀 있다는 것이다(즉, 대수적 집합이다). 이것은 실수 및 복소 사영 공간의 콤팩트성을 모든 기본 체로 일반화한 것이다.

사영 공간 자체는 영 다항식의 영점 집합이므로 사영 다양체이다.

스키마 이론은 알렉산더 그로텐디크에 의해 도입되었으며, Proj 구성을 통해 사영 공간의 스키마를 구성하고, 더 일반적으로는 아핀 스키마들을 이어 붙여서 모든 사영 다양체를 구성할 수 있다.

7. 모듈라이 공간

사영 공간은 벡터 공간에서 원점을 지나는 직선들의 모듈라이 공간으로 해석할 수 있다. 즉, 차원 $n$의 사영 공간은 차원 $n+1$의 벡터 공간에서 벡터 선 (차원 1의 벡터 부분 공간)의 집합으로 정의할 수 있다.^[6] 사영 공간 $KP_n$의 점 $p = [a_0:a_1:\cdots:a_n]$는 아핀 공간 $K^{n+1}$ 내에서 원점과 점 $(a_0, a_1, ..., a_n)$을 잇는 직선 $l_p$와 일대일로 대응한다.^[6]

7. 1. 그라스만 다양체

사영 공간은 벡터 공간의 더 높은 차원의 부분 공간을 매개변수화하는 그라스만 다양체로 일반화된다.^[6]

8. 사영 변환군

은 벡터 공간 ''K''^''n''+1}}에 원점을 고정하여 작용하고, 원점을 지나는 직선을 원점을 지나는 직선으로 사영하므로, 사영 공간 에는 가 작용한다.^[7] 단위 행렬의 상수배는 사영 공간에 자명하게 작용하므로, 이 작용은 잉여군 ''GL''(''n'' + 1, ''K'')/''K''^×}}를 경유한다.^[7] 군 를 의 '''사영 변환군(projective linear transformaton group)'''이라고 한다.^[7] 사영 변환군은 대수다양체로서 (또는 '''C'''}}일 때는, 복소다양체로서) 의 자기 동형 사상군과 같다.^[7]

의 에 대한 작용의 한 점의 안정화 부분군(stabilizer)^영어은

형태의 행렬로 이루어진 부분군 이며, 공간 는 잉여류 와 동형이다. 즉, 는 균질 공간이다. 균질 공간으로서의 기술 관점에서도, 사영 공간은 그라스만 다양체나 깃발 다양체의 가장 간단한 경우에 해당한다.

자기 동형 사상 은 보다 구체적으로 설명할 수 있다. 전역 단면으로 생성된 층의 개념을 사용하면, 임의의 대수적(필수는 아님) 자기 동형 사상은 선형적이어야 하며, 즉 벡터 공간 의 (선형) 자기 동형 사상에서 유래해야 한다. 후자는 군 을 형성한다. 스칼라로 다른 사상을 식별함으로써 다음을 결론 내릴 수 있다.

를 항등 행렬의 스칼라 배수인 행렬로 나눈 몫군. (이 행렬들은 의 중심을 형성한다.) 군은 사영 선형군이라고 불린다. 복소 사영선 의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이라고 불린다.

9. 초평면과 쌍대 사영 공간

쌍대 공간 V^∗^영어에 V^영어 대신 위의 구성을 적용하면 쌍대 사영 공간을 얻으며, 이는 V^영어의 원점을 지나는 초평면의 공간과 정규적으로 식별될 수 있다. 즉, V^영어가 n^영어차원이라면, '''P'''(''V''^∗)^영어는 V^영어에서 평면의 그라스만 다양체이다.

사영 공간 KP_n^한국어의 동차 좌표 [''x''₀ : ''x''₁ : ⋯ : ''x_n'']^영어에 대해, 방정식

:''a''₀''x''₀ + ''a''₁''x''₁ + ⋯ + ''a_nx_n'' = 0^영어

은 그 해가 되는 점의 상수 배도 해가 되므로, KP_n^한국어의 닫힌 집합을 정한다. (''a''₀, ''a''₁, ..., ''a_n'')^영어이 0^영어-벡터가 아니면 이는 참된 닫힌 집합이다. 이를 사영 공간의 '''초평면'''이라고 한다. KP_n^한국어의 초평면은 ''KP''_''n''−1^영어와 동형(혹은 위상 동형)이다.

상술한 일차 방정식은, 계수 (''a''₀, ''a''₁, ..., ''a_n'')^영어를 상수 배해도 해 집합은 불변이다. 따라서, KP_n^한국어의 초평면은 [''a''₀ : ''a''₁ : ⋯ : ''a_n'']^영어과 1대1로 대응한다. KP_n^한국어의 초평면 전체를 매개변수화하는 공간은 이 대응으로 KP_n^한국어와 동일시할 수 있다. 이를 '''쌍대 사영 공간''' (dual projective space)^영어이라고 한다.

비슷한 이유로, 사영 공간 KP_n^한국어의 점 ''p'' = [''a''₀ : ''a''₁ : ⋯ : ''a_n'']^영어에 방정식 ''a''₀''y''₀ + ''a''₁''y''₁ + ''a_ny_n'' = 0^영어로 정해지는 ''K''^''n''+1^영어의 n^영어차원 부분 벡터 공간 V_p^영어를 대응시키는 대응은 1대1의 대응이다. KP_n^한국어의 자명한 벡터 다발 ''K''^''n''+1 × ''KP_n''^영어의 부분 벡터 다발 $\mathcal{V}$ 를

:

로 정하고, $\mathcal{O}(1)$ 을 몫 다발 $K^{n+1} \times KP_n / \mathcal{V}$ 라고 하면, $\mathcal{O}(1)$ 는 보편 직선 다발 $\mathcal{O}(-1)$ 의 쌍대 직선 다발과 동형이 된다. 이를 '''초평면 직선 다발''' (hyperplane line bundle)^영어이라고 부른다.

10. 제차 좌표환과 스킴론적 정의

음이 아닌 정수 $n$에 대해, 정수 계수의 $n$차원 사영 공간 $\mathbb P^n_{\mathbb Z}$는 다음과 같이 정의된다.

:$\mathbb P^n_{\mathbb Z}=\operatorname{Proj}\mathbb Z[x_0,x_1,\dots,x_n]$

여기서 $\mathbb Z[x_0,x_1,\dots,x_n]$은 정수 계수 다항식환이며, $\operatorname{Proj}$는 사영 스펙트럼이다.

임의의 스킴 $X$에 대하여, $X$ 좌표의 $n$차원 사영 공간 $\mathbb P_X^n$은 다음과 같이 정의된다.

:$\mathbb P^n_X=\mathbb P^n_{\mathbb Z}\times X$

여기서 $\times$는 스킴의 범주에서의 곱을 의미한다.

만약 $R$이 가환환이라면, 다음이 성립한다.

:$\mathbb P^n_{\operatorname{Spec}R} = \operatorname{Proj}R[x_0,x_1,\dotsc,x_n]$

체 K 위의 사영 공간은 ${K}^{n+1}$ 에서 원점 $(0,0,\dots,0)$을 제외한 공간에 다음과 같은 동치 관계를 부여하여 정의할 수 있다.

:$(a_0, a_1, \dots, a_n) \sim (\lambda a_0, \lambda a_1, \dots, \lambda a_n) \qquad \forall \lambda \in K^\times$

이때, 사영 공간 $\mathbb P^n_K$의 원소는 이러한 동치류들의 집합 $(K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\})/{\sim}$으로 표현되며, $(a_0, \dots, a_n)$을 동차좌표라고 한다.

일반적인 경우, 사영 공간은 $\mathbb{P}^n(K)$로 표시된다. 이때, 사영 공간의 원소는 ''점''이라고 불린다. 만약 $K$가 실수 또는 복소수의 체라면, 사영 공간은 각각 실 사영 공간 또는 복소 사영 공간이라고 불린다.

스키마 이론에서는, 임의의 가환환 $A$에 대해 $A$ 위의 $(n+1)$ 변수 다항식환 $A[x_0, \dots, x_n]$을 $A$ 위의 등급환으로 보고, $\operatorname{Proj}(A[x_0, \dots, x_n])$을 상수항을 갖지 않는 다항식 전체가 이루는 아이디얼(무연 아이디얼)을 포함하지 않는 제차 소 아이디얼 전체의 집합으로 정의한다. 이는 자연스럽게 $A$ 위의 스키마가 되며, 이를 $A$ 위의 사영 공간이라고 부르고, $\mathbb{P}^n_A$로 나타낸다.

11. 푸비니-스터디 계량

1차원 복소수 사영 공간 $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ 은 복소다양체로 여겼을 때 리만 구가 된다.

체는 복소수체로 가정한다. 위의 (1,1)-형식

:

는 의 작용에 대해 불변이므로, 위의 (1,1)-형식 를 유도한다. 점 주변의 국소 좌표 에서 이를 전개하여 를 대입하면

:

가 되므로, 에 대응하는 에르미트 형식 는 이 점에서 양의 값을 가지며, 즉 에르미트 계량이다. 그러나 와 이에 수반되는 에르미트 형식은 유니타리 군 의 에 대한, 따라서 에 대한 추이적 작용에 대해 불변이므로, 는 위의 에르미트 계량을 결정한다. 또한 는 정의로부터 명백히 닫힌 형식이므로, 는 켈러 계량이다. 이 위의 계량을 푸비니-스터디 계량(Fubini-Study metric)이라고 부른다.^[8] 또한, 위의 설명으로부터 사영 공간 는 푸비니-스터디 계량에 대해 정칙 단면 곡률이 양의 상수 곡률을 가지는 다양체임을 알 수 있다.

12. 사영 공간의 위상

사영 공간에는 유한 차원 실수 벡터 공간의 몫 위상이 부여되어 있다.

S|S^영어를 노름 벡터 공간 V|V^영어의 단위 구라고 하고, 함수 $\pi: S \to \mathbf P(V)$ 를 생각하면, 이 함수는 S|S^영어의 한 점을 그 점을 지나는 벡터 선으로 사상한다. 이 함수는 연속적이며 전사 함수이다. 의 모든 점의 역상은 두 개의 대대점으로 구성된다. 구는 콤팩트 공간이므로, (유한 차원) 사영 공간은 콤팩트하다.

S|S^영어의 모든 점 P|P^영어에 대해, π|π^영어를 P|P^영어의 근방으로 제한하면, 그 근방이 대대점을 포함하지 않을 정도로 충분히 작다면, 그 상으로의 homeomorphism이 된다. 이것은 사영 공간이 다양체임을 보여준다. V|V^영어에 대한 기저가 선택되면, 모든 벡터는 기저에 대한 좌표로 식별될 수 있으며, 의 모든 점은 동차 좌표로 식별될 수 있다.

사영 공간 는 아핀 공간 와 초평면 의 서로소인 합으로 나타낼 수 있다. 는 과 동일시되고, 는 한 차원 낮은 사영 공간 과 동일시되므로, 이 분해를 귀납적으로 반복함으로써 다음과 같은 서로소 합 분해를 얻는다.

: $KP_n=K^n \amalg K^{n-1} \amalg \dotsb \amalg K^1 \amalg \{pt\}$

가 (혹은 )인 경우, 은 차원 열린 구체 (혹은 차원 열린 구체 )와 위상 동형이므로, 이것은 CW 복합체로의 분할

: $KP_n = e^n \cup e^{n-1} \cup \dotsb \cup e^1 \cup e^0$

을 제공한다. 이 세포 분할에 수반되는 호몰로지 복합체를 사용하여 호몰로지 군을 계산할 수 있다. 인 경우, 홀수 차원 세포가 존재하지 않으므로

: $H_i(\mathbf{C}P_n, \mathbf{Z}) = \begin{cases}\mathbf{Z} & i \equiv 0 \pmod{2}, \; 0 \le i \le 2n\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$

임을 알 수 있다.^[9] 실수 사영 공간에 관해서는, 에서 로의 이중 피복을 사용하여 붙이기 사상의 중복도를 계산하면^[10] 이 세포 분할에 수반되는 호몰로지 복합체는, ()로 둘 때

: $C_0 \overset{0}{\longleftarrow} C_1\overset{2}{\longleftarrow} C_2 \longleftarrow \cdots \xleftarrow{1+(-1)^n} C_n$

로 주어지므로, 정수 계수의 호몰로지 군은

: $H_i(\mathbf{R}P_n, \mathbf{Z}) = \begin{cases}\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & i \equiv 1 \pmod{2}, \; 0 \le i\le n \\\mathbf{Z} & i = n \equiv 1 \pmod{2} \\0 & \text{otherwise}\end{cases}$

가 된다.^[11] 계수를 로 바꾸면, 복소 사영 공간의 경우와 유사성이 강한

: $H_i(\mathbf{R}P_n, \mathbf{Z}_2) = \begin{cases}\mathbf{Z}_2 & 0 \le i \le n\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$

을 얻을 수 있다.

임의의 아벨 군 에 대해, 계수의 코호몰로지 군도 이 호몰로지 복합체에 를 작용시켜 얻을 수 있는 코호몰로지 복합체의 코호몰로지로 계산할 수 있다. 특히, 모든 코호몰로지 군의 직합 $H^{*}(KP_n, A) = \bigoplus_{i \ge 0} H^{i}(KP_n, A)$ 에 컵 곱으로 곱 구조를 넣어서 얻어지는 코호몰로지 환의 구조는, 복소 사영 공간에 대해

: $H^{*}(\mathbf{C}P_n, \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}[h]/(h^{n+1})$

로 얻어진다. 실수 사영 공간에 대해서도 계수로 생각하면 유사한

: $H^{*}(\mathbf{R}P_n, \mathbf{Z}_2) \cong \mathbf{Z}_2[h]/(h^{n+1})$

을 얻을 수 있다. 여기서, 는 초평면의 코호몰로지류이다.

복소 사영 공간의 경우, 번째 코호몰로지 군 는 개의 초평면의 올바른 교차 (그것은 와 동일시할 수 있다)에 의해 생성되므로, 복소 사영 공간의 코호몰로지 환의 구조는 의 부분 다양체의 교차의 차수가 차수의 곱이 됨을 의미한다. 이것은 베주의 정리의 고차원화이다. 또한, 는 켈러 다양체이므로, 호지 분해가 성립하지만, 차원의 이유로 그 호지 수는

: $h^{p,q}=\dim H^p(\mathbf{C}P_n, \Omega ^q)=\begin{cases}1 & p = q \le n \\0 & \text{otherwise}\end{cases}$

로 주어진다.

부분 다양체의 교차와 차수에 관한 이론 (교점 이론)은 사영 공간 (더 정확하게는 스킴론적인 $\mathbb{P}^n_K$ )에 대해 차우 환 (Chow ring) 를 생각함으로써 임의의 체 위로 일반화된다. 차우 환도 코호몰로지 환과 유사한 기술

: $CH^{*}(\mathbb{P}^n_K)\cong \mathbf{Z}[h]/(h^{n+1})$

을 가지고 있다.

참조

_[1] 서적 Foundations of Translation Planes Marcel Dekker
_[2] 간행물
_[3] 간행물
_[4] 서적 Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff Springer
_[5] 서적 Algebraic Theory of Lattices Prentice-Hall
_[6] 간행물
_[7] 문서 斉次座標環と代数幾何的定義
_[8] 문서 ケーラー多様체
_[9] 문서 単連結
_[10] 문서 Hopf 의 이중피복
_[11] 문서 R''P(n)

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